Окончил 7 классов сельской школы, потом школу ФЗУ в городе Химки Московской области. До призыва в армию работал слесарем-инструментальщиком на одном из машиностроительных заводов в Химках и одновременно занимался в Свердловском аэроклубе Москвы.
В ряды Красной Армии был призван в 1940 году и сразу направлен в Борисоглебскую военную школу пилотов имени В. П. Чкалова.
В боях с немецко-фашистскими захватчиками младший лейтенант с февраля 1942 года. Воевал на самолётах ЛаГГ-3, Ла-5, Ла-5Ф, Ла-5ФН и Ла-7. Свой первый самолёт (Ме-109) сбил 19 марта 1942 года в районе станции Мясной Бор в составе пары.
2 января 1943 года он столкнулся с тремя самолетами противника. После стремительной атаки врага ему удалось сбить первый самолет. Вскоре А.И. Майоров увидел, как два наших самолета Як-7 ведут бой с фашистским «фокке-вульфом» (ФВ-190), поспешил на помощь товарищам и сбил немецкий самолет. В сентябре 1943 года как отличному воздушному бойцу-истребителю ему было присвоено звание Героя Советского Союза.
Победу Александр Майоров встретил в небе Германии, совершив за годы войны более 300 боевых вылетов, проведя 68 воздушных боев, сбив 27 самолетов противника.
24 июня 1945 года участвовал в Параде Победы. В августе 1945 года был назначен заместителем командира истребительного авиационного полка, дислоцировавшегося в Венгрии. В 1952 году по состоянию здоровья перешел на штабную работу, а в 1973 году в звании полковника уволился в запас.
Жил в городе-герое Одессе, где работал спасателем на пляже. Потом стал руководителем ОСВОДа Одесской области и оставался на этом посту до выхода на пенсию в 1994 году. Умер Александр Иванович 26 октября 2004 года. Похоронен на Втором Христианском кладбище Одессы.
Награжден медалью «Золотая Звезда», орденом Ленина, дважды орденом Красного Знамени, орденом Александра Невского, орденом Отечественной войны 1 степени, орденом Отечественной войны 2 степени, орденом Красной Звезды, медалью «За оборону Ленинграда», орденом Боевого Красного Знамени Монгольской Народной Республики, орденом Британской империи 5 степени.
